Question

如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直

如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．（1）当x= 52时，求弦PA、PB的长度；（2）当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？

Answer 1

解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，且AB为⊙O的直径，
∴AB⊥l，又∵PC⊥l，
∴AB∥PC，
∴∠CPA=∠PAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB=90°，又PC⊥l，
∴∠PCA=∠APB=90°，
∴△PCA∽△APB，
∴PCAP=PAAB，即PA2=PC•AB，
∵PC=52，AB=4，
∴PA=52×4=10，
∴Rt△APB中，AB=4，PA=10，
由勾股定理得：PB=16-10=6；

（2）过O作OE⊥PD，垂足为E，

∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，
∴PE=ED，
又∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，
∴四边形OACE为矩形，
∴CE=OA=2，又PC=x，
∴PE=ED=PC-CE=x-2，
∴CD=PC-PD=x-2（x-2）=x-2x+4=4-x，
∴PD•CD=2（x-2）•（4-x）=-2x2+12x-16=-2（x-3）2+2，
∵2＜x＜4，
∴当x=3时，PD•CD的值最大，最大值是2．