Question

在直角梯形ABCD中，AB∥DC,AB⊥BC,∠A=60°，AB=2CD,E.F分别为AB,AD的中点，连接EF,EC,BF,CF.

Answer 1

连接DE
因为：AB//DC,
AB=2DC,
E、F分别为AB,AD的中点，
又因为,∠A=60°，
所以AD=2AE，AF=FD=EF=DC=AE=EB，∠AEF=∠FEC=∠CEB=60°
因为：EF=EB，CE是公用边，∠FEC=∠CEB=60°，
所以三角形CFE全等于三角形CEB，三角形CDF全等于三角形FEB

因为CD=2，BE=2，CE=2CD=4，则BC=根号3/2，∠CEB=60°，∠ECB=30°
S=1/2(e+b+c)=1/2(2+4+√3/2)=3+√3/4
四边形BCFE的面积=2△CEB=2√[s(s-b)(S-e)(S－c)]=2√[(3+√3/4)(3+√3/4-4)(3+√3/4-2)(3+√3/4-√3/2)]
算出来就可以了。

Answer 2

（1）△CDF≌△BEF
证明：连接DE，
因为四边形ABCD为
直角梯形
，AB⊥BC，AB=2CD，E为AB的中点，
所以DE⊥AB，CD=AE=EB,
又因为点F为AD的中点，∠A=60°，
所以∠ADC=120°，AF=DF=EF=AE=CD，
则△AEF为
等边三角形
，所以∠BEF=120°=∠ADC，
所以△CDF≌△BEF（SAS）
（2）解：因为CD=2，
则AB=4，AF=DF=EF=AE=CD=2，
则DE=BC=AE*tan60°=2√
3，
所以S四边形BCFE=S梯形ABCD-S△FDC-S△AEF
=1/2*（2+4）*2√
3-1/2*2*2*sin120°-1/2*2*2*sin60°
=6√
3+√
3-√
3
=6√
3。

Answer 3

（1）三角形EBC全等于EFC
连接DE
DE垂直于AB
角A=60°
所以AE=1/2AD=AF
所以BE=EF
角CDF=角DFE
DF=DF
角FDE=角DFC=30°
三角形FDE全等于三角形DFC
所以CF=DE=DC
CE=CE
所以
三角形EBC全等于EFC（边边边）
（2）BCFE的面积=2三角形EBC=BE*BC=1*3^(1/2)=3^(1/2)

Answer 4

1.
△FDC ≌
△FEB
连接DE
△ADE
直角是直角三角形
（不用证了吧？）
EF=FD==AE=EB=DC
角D
=
角FEB
∴
△FDC ≌
△FEB
2..
DC=2
∴
BE=EF=2
DE=BC=2
倍根3
FC=2
倍根3
△CFE
△CBE都是直角三角形
∴
S
CBEF=S△CFE+
S △CBE
=4倍
根3

Answer 5

连接DE
∵∠A=60°
∴余弦60°=AE/AD=A/2
∵AE=AF
∴∠AFE=∠AEF=60°
∴∠FEB=180°-60°=120°
∵AB//CD
∴∠ADC=180°-60°=120°
∵CD=BE=EF=DF
∴△BFG≌△CDF
2)
∵正弦60°=DE/4=根号3/2
∴DE=CB=2×根号3
∴四边形BCEF面积为
2×【（2×2×根号3）/2】=4×根号3