Question

试求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1997|最小值

Answer 1

要使等式的值最小，只有当（x-1+x-1997）=0时
即：x=999
|x-1|+|x-2|+|x-3|+……+|x-1997|
=x-1+x-2+x-3+……+x-999+1000-x+1001-x+……+1997-x
=x-999=0
因为|x-1|+|x-2|+|x-3|+……+|x-1997|≥0
所以x=999时等式等于0时，值最小

Answer 2

由于原式的绝对值共有1997项，最中间的那一项是|x-999|，所以只需取x=999，它们的和就可以获得最小值，原式可以展开为：
|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1997|，
=|999-1|+|999-2|+…+|999-998|+|999-999|+|999-1000|+…+|999-1997|，
=998+997+…+1+0+1+…+998，
=2×（1+2+3+…+998），
=2×998×
998+1
2
，
=998×999，
=997002；
故答案为：997002．

Answer 3

别只说怎么算，还要说为什么这样算

|x－1|＋|x－1997|表示x到1的距离+x到1997的距离之和，显然x在1与1997的正中间时这个距离和最小

于是我们可以把原式先首尾两两组队

原式=|x－1|＋|x－1997|＋|x－2|＋|x－1996|＋|x－3|+＋|x－1995|……＋|x－998|＋|x－1000|+|x－999|

最后的|x－999|落单了，但没关系，因为：

x在999时，每个组是最小值

所以x=999时原式的值最小

原式=998+997+996……3+2+1+0+1+2+3+……996+997+998

=（1+998）×998÷2+（1+998）×998÷2

=997002