Question

如图，二次函数y=1/2x²-x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是M’

如图，二次函数y=1/2x²-x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是M’

（1）若A（-4，0），求二次函数的关系式；
（2）在（1）的条件下，求四边形AMBM'的面积；
（3）是否存在抛物线y=1/2x²-x+c，使得四边形AMBM'为正方形？若存在，请求初次抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由。

。。求大神。

Answer 1

1.将点A(-4，0)代入：0=(1/2)×(-4)² - (-4) + c
解得c=-12
∴二次函数的关系式为y=(1/2)x² - x - 12
2.由(1)可得：点B的坐标为(6，0)， 顶裤兆点M的坐标为(1，-25/2) ，则点M'的坐标为(1，25/2)
∵点M是二次函数的顶点
∴AM=BM
∵点M'是顶点M关于x轴的对称点
∴AM'=BM'且AM=AM'
∴AM=BM=BM'=AM'
∴四边形AMBM'是菱形
|AB|=|6-(-4)|=10 ， |MM'|=|25/2 - (-25/2)|=25
S=|AB|×|MM'|=10×25=250
3.假设存在抛物线y=1/2x²-x+c，使袜弯得四边形AMBM'为正方形
则点A，B的坐标分别为A(x1，0)，B(x2，0) ，顶点M的坐标为(1，2c-1/2 )
根据韦达定理有：x1+x2=2 ， x1x2=2c
∴|AB|=|x1-x2|=(x1+x2)² - 4x1x2=|4 - 8c|
∵四边形AMBM'为正方形
∴AB=MM'
∴|4 - 8c|=2×[(2c-1)/2] ，整理后：4c² + 4c - 3=0 ，解得：c=1/2或c=-3/2
∵抛物线告纯闷y=1/2x²-x+c的图象与x轴分别交于A、B两点
∴b² - 4ac﹥0 ，即： 1 - 2c﹥0 ， 得：c﹤1/2
∴c=-3/2
∴存在抛物线y=1/2x² - x - 3/2，使得四边形AMBM'为正方形

Answer 2

（1）把点A的坐标代入二次函数解析式，计算求出c的值，即可得解；
（2）颂链把二次函数解析式整理成顶点式解析式，根据二次函数的对称性求出点B的坐标，从而求出AB的长，再根据顶点坐标求出点M到x轴的距离，然后求出△ABM的面积，根据对称性可得S四边形AMBM′=2S△ABM，计算即可弊缺得解；野卜孙
（3）令y=0，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出AB的长度，根据抛物线解析式求出顶点M的纵坐标，然后根据正方形的对角线互相垂直平分且相等列式求解，如果关于c的方程有解，则存在，否则不存在．

Answer 3