Question

高二数学导数问题。

Answer 1

简单就回答啦，这么多废话。
第一题：
这题首先要验证点A是不是在曲线上，即验证点A是否切点。
y
=
2x²
当x
=
1时，y
=
2(1)²
=
2
≠
1，所以点A不在曲线上，是个外点(external
point).
所以设切点的坐标为(a，b)，切点在曲线上，所以代入曲线方程得：
b
=
2a²
...①
曲线的导数y'
=
4x，所以切线的斜率为y'(a)
=
4a
...②
由于切线经过点A(1，1)和切线(a，b)
所以可用两点坐标求得切线的斜率=
(b
-
1)
/
(a
-
1)
...③
联立②③得：4a
=
(b
-
1)
/
(a
-
1)
4a²
-
4a
+
1
=
b
...④
联立①④得：2a²
=
4a²
-
4a
+
1
2a²
-
4a
+
1
=
0
a
=
{4±√[4²
-
4(2)(1)]}
/
2(2)
a₁
=
(1/2)(2
+
√2)
a₂
=
(1/2)(2
-
√2)
b₁
=
2(1/2)²(2
+
√2)²
=
3
+
2√2
b₂
=
2(1/2)²(2
-
√2)²
=
3
-
2√2
斜率y'(a₁)
=
4(1/2)(2
+
√2)
=
4
+
2√2
斜率y'(a₂)
=
4(1/2)(2
-
√2)
=
4
-
2√2
∵有两个切线：(1/2*(2+√2)，3+2√2)和(1/2*(2-√2)，3-2√2)
∴切线也有两条：
y
-
(3+2√2)
=
(4+2√2)(x
-
1/2*(2+√2))
L₁：y
=
(4+2√2)x
-
2√2
-
3
y
-
(3-2√2)
=
(4-2√2)(x
-
1/2*(2-√2))
L₂：y
=
(4-2√2x)x
+
2√2
-
3
第二题：
y
=
2x²
当x
=
1时y
=
2(1)²
=
2，由于符合曲线方程，所以点A(1，2)在曲线上
y'
=
4x
y'(1)
=
4(1)
=
4
∴切线斜率为：
y
-
2
=
4(x
-
1)
L：y
=
4x
-
2