Question

两物体间相互作用的题

如图所示，质量为m=5kg的长木板放在水平地面上，在木板的最右端放一质量也为m=5kg的物块A。木板与地面间的动摩擦因数μ1=0.3，物块与木板间的动摩擦因数μ2=0.2。现用一水平力F=60N作用在木板上，使木板由静止开始匀加速运动，经过t=1s，撤去拉力。设物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（g取10m/s2）请求解：

（1）拉力撤去时，木板的速度大小。
（2）要使物块不从木板上掉下，木板的长度至少多大。
（3）在满足（2）的条件下，物块最终将停在距板右端多远处。
如何不用动量定理计算

Answer 1

（1）以木板和木块整体为研究对象，则F-μ1（mg+mg）=（m+m）a，解出整体的加速度a=3m/s²，而木块和木板之间的最大静摩擦力fm=μ2mg=ma‘，所以a’=2m/s²＜a，两物体间已经发生相对滑动。——以上是判断两物体间是否发生相对滑动。
再次以木板为研究对象，则F-μ1（mg+mg）-μ2mg=ma1，所以a1=4m/s²，1s末的速度v1=a1t=4m/s，方向向右，1s内木板向前运动的距离x1=0.5a1t²=2m
（2）当1s末撤去外力F时，木块的速度v2=a'=2m/s²，1s末的速度v2=a2t=2m/s，方向向右，木块运动的位移x2=0.5a2t²=1m，撤去F后，木板做匀减速直线运动，-μ1（mg+mg）-μ2mg=ma3，所以a3=-8m/s²，当木块和木板速度相等时，他们一起做匀加速直到停止，设他们的共同速度为v，则对木块而言，v=v2+a2t'，对木板而言，v=v1+a3t'，联立两式得到，t'=0.2s，在这一过程中，木块前进的距离x3=v2t'+0.5a2t'²=0.44m，木板前进的距离x4=v1t'+0.5a3t'²=0.64m，前1.2s内，木块前进的距离x块=x2+x3=1.44m，木板前进的距离x板=x1+x4=2.64m，他们的相对距离△s=x板-x块=1.2m，即此刻两物体相对静止，所以木板的长度至少为1.2m。

Answer 2

(1)a板=F合/m板=（60N-0.3*10kg*10N/kg-0.2*5kg*10N/kg）/5kg=4m/s^2
故撤去力时：V板1=a板t=4m/s^2*1s=4m/s.
(2撤力前：板的位移：X1=1/2at^2=1/2*4*1=2m 块的状态：a块1=0.2*10=2m/s^2 V块1=at=2*1=2m/s
撤力后：板的状态：a板2=-（0.3*10*10+0.2*5*10）/5=-8m/s^2
块的加速度：a块2=0.2*5*10/5=2m/s^2
要使木板不掉下，木块到达木板左端时，而这速度恰好相等。设历时ts，则
V板2=V板1+a板t=4-8t V块2=V块1+at=2+2t V板2=V板1
联立三者得：t=0.2s
X板=X1+X2 X2=Vt+at=4*0.2-1/2*8*0.2^2=0.64m X板=2+0.64=2.64m
X块=1/2at总^2=1/2*2*1.2^2=1.44m
所以木板至少长：X板-X块=2.64-1.44=1.2m
（3）同二，木板右端的长度即木板至少的长度。