设f(x)可导,F(x)=f(x)(1+︱sinx︱),则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的( )
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对F(X)求X的导数
F(X)=f(X)+f(X)|
sinX
|
F
’(X)=f
’(X)+f
‘
(X)|
sin
X
|+
f(X)|
cosX
|
当X=0-时,原式=F
’(0-)=f
’(0-)-f
‘
(0-)
sin 0
+
f(0-)
cos0
当f(0)=0时,原式=F’(0-)=f
‘(0-)+f(0-)=f
’(0-)
同理:当X=0+时,原式=F’(0+)=f
‘(0+)+f(0+)=f
’(0+)
因为f(x)在0点可导,所以f
’(0+)=f
’(0-),所以F’(0-)=F’(0+)
并且F(0-)=F(0+)=0,即:当f(0)=0时,F(X)在0点连续,且左右导数相等,则F(X)在0点可导。
但由F(X)在0点可导,并不能推出f(0)=0,(这里只需要f(0-)=f(0+)即可,不一定非为0)。
所以f(0)=0,是F(x)在x=0处可导的充分非必要条件,选B。
F(X)=f(X)+f(X)|
sinX
|
F
’(X)=f
’(X)+f
‘
(X)|
sin
X
|+
f(X)|
cosX
|
当X=0-时,原式=F
’(0-)=f
’(0-)-f
‘
(0-)
sin 0
+
f(0-)
cos0
当f(0)=0时,原式=F’(0-)=f
‘(0-)+f(0-)=f
’(0-)
同理:当X=0+时,原式=F’(0+)=f
‘(0+)+f(0+)=f
’(0+)
因为f(x)在0点可导,所以f
’(0+)=f
’(0-),所以F’(0-)=F’(0+)
并且F(0-)=F(0+)=0,即:当f(0)=0时,F(X)在0点连续,且左右导数相等,则F(X)在0点可导。
但由F(X)在0点可导,并不能推出f(0)=0,(这里只需要f(0-)=f(0+)即可,不一定非为0)。
所以f(0)=0,是F(x)在x=0处可导的充分非必要条件,选B。
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