Question

设f(x)可导,F(x)=f(x)(1+︱sinx︱),则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的( )

Answer 1

对F（X）求X的导数
F（X）=f（X）+f（X）|
sinX
|
F
’（X）=f
’（X）+f
‘
（X）|
sin
X
|+
f（X）|
cosX
|
当X=0-时，原式=F
’（0-）=f
’（0-）-f
‘
（0-）
sin 0
+
f（0-）
cos0
当f（0）=0时，原式=F’（0-）=f
‘（0-）+f（0-）=f
’（0-）
同理：当X=0+时，原式=F’（0+）=f
‘（0+）+f（0+）=f
’（0+）
因为f（x）在0点可导，所以f
’（0+）=f
’（0-），所以F’（0-）=F’（0+）
并且F（0-）=F（0+）=0,即：当f(0)=0时，F（X）在0点连续，且左右导数相等，则F（X）在0点可导。
但由F（X）在0点可导，并不能推出f（0）=0，（这里只需要f（0-）=f（0+）即可，不一定非为0）。
所以f（0）=0，是F(x)在x=0处可导的充分非必要条件，选B。