Question

｛求数学爱好者回答高一问题｝已知函数f(x)为偶函数,且当x≤0时,f(x)=x²+2x

（1）求函数f(x)的式子
（2）若函数f（x）在【t-1，t+2】上有唯一的零点，求实数t的取值
（3）已知函数g（x）=mx+5-2m，若对任意的x1属于【0，4】x2属于【1，4】使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

1. 当x≤0时，f(x)=f(-x)=x²-2x，所以
f(x)= x²+2x (x≤0)
= x²-2x (x＞0)
2. 当f(x)=0时，x取值为：-2和0和2。
所以，令f(x)有唯一零点时，有：-2≤t+2＜0 或 0＜t-1≤2 或 -2＜t-1，t+2＜2
此时t的取值范围为：-4 ≤ t ＜ -2 或1 ＜ t ≤3或 -1 ＜ t ＜0
3. 当x1属于[0，4]时，f(x1)范围为[-1，8]
显然，函数g(x2)为直线，只要满足x2在[1，4]范围 -1≤g(x)≤8，即：-1≤mx+5-2m≤8
g(x2)为单调函数，
若m＞0，则有 -1≤m+5-2m 且 4m+5-2m≤8 ，得到：0＜m≤6
若m＜0，则有 -1≤4m+5-2m 且 m+5-2m≤8 ，得到：-3≤m＜0
综上所述，m范围为：[-3，0)U(0，6]

请检查

Answer 2

(1) 设x>0, -x<0, f(-x)=(-x)^2-2x f(-x)=f(x),
所以当x>0时，f(x)=x^2-2x

f(x)={x^2-2x,(x>0); x^2+2x,(x≤0)}

(2) 从函数图象中可以看出此函数共有三个零点，x=-2, 0,2

(t+2)-(t-1)=3,此区间有三个单位长，

当-2≤t+2<0 或 -2<t-1<0且0<t+2<2 或 0<t-1≤2

得-4≤t≤3且t≠-2，-1，0，1

(3) x1∈[0,4], f(x)∈[-1,8],

-1≤mx+5-2m≤8 mx≤3+2m且mx≥2m-6

当m>0时x≤(3+2m)/m且x≥(2m-6)/m

(3+2m)/m≤ 4且(2m-6)/m≥1
m≥3/2且m≥6
m≥6

当m<0时, x≥(3+2m)/m且x≤(2m-6)/m

(2m-6)/m ≤ 4 (3+2m)/m≥1 得 m≤-3

综上m≤-3或≥6

Answer 3

我在上小学，等我上大学再告诉你！

Answer 4

用f（x）=f（-x）求出函数f（x）下面就好解了

追问

需要最后一题怎么做，我现在还是做不会，不然我不会花这么大精力，你教教我？

Answer 5

用偶函数性质f(x)=f(-x)求解

追问

最后一题怎么做