Question

已知椭圆c:x²/a²＋y²/b²＝1（a＞b＞0）

的离心率为1/2.左，右焦点分别为F1.F2.点G在椭圆上，且向量GF1*向量GF2＝0.△GF1F2的面积为3.求椭圆C的方程。

Answer 1

椭圆方程:x²/a²＋y²/b²＝1,
∵向量GF1·向量GF2＝0.,
∴向量GF1⊥GF2,
∴△GF1F2是RT△,
设|GF1|=m,|GF2|=n,
根据勾股定理,
GF1^2+GF2^2=F1F2^2,
|F1F2|=2c,
m^2+n^2=4c^2,(1)
根据椭圆定义,
m+n=2a,
两边平方,
m^2+n^2+2mn=4a^2,(2)
(2)-(1)式,
2mn=4(a^2-c^2)=4b^2,
mn/2=b^2,
∵S△GF1F2=mn/2=b^2=3,
∴b=√3,
离心率e=1/2,
∴c/a=1/2,
c=a/2,
∵a^2-c^2=b^2,
∴a^2-a^2/4=3,
3a^2/4=3,
∴a^2=4,
∴椭圆方程为:
x²/4＋y²/3＝1.

Answer 2

解：设|F1F2|=2c (c>0)
则F1(-c，0)，F2(c，0)
∵GF1*GF2=0
∴GF1⊥GF2
△GF1F2为直角三角形
令|GF1|=d1，|GF2|=d2 (d1，d2>0)
故(1/2)*d1*d2=3
∴d1*d2=6
又e=c/a=1/2
∴a=2c
∴d1+d2=2a=4c
∴d1²+d2²=(d1+d2)²-2d1*d2
=(4c)²-2×6
=16c²-12
而d1²+d2²=(2c)²=4c²
∴16c²-12=4c²
∴c=1
则a=2c=2
∴b²=a²-c²=2²-1=3
椭圆C方程为
x²/4+y²/3=1

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Answer 3

离心率为1/2，向量GF1*向量GF2＝0 两个条件有矛盾。 G不可能为直角.

证明如下:

设|GF1|=m,|GF2|=n,

角G = C

角F1 = A

角F2 = B

由正弦定理
2c/ sinC = m/ sinA = n/ sinB

= (m+n)/ (sinA+sinB)
= 2a /(sinA+sinB)

所以
sinC = c/a * (sinA+sinB) = 1/2 * 2*sin((A+B)/2) *cos((A-B)/2)

= sin(PI/2 -C/2) *cos((A-B)/2)
= cos(C/2) *cos((A-B)/2)

所以

2sin(C/2)cos(C/2) = cos(C/2) *cos((A-B)/2)

得
sin(C/2) = cos((A-B)/2) /2 <=1/2 < √2/2
所以

C/2 < PI/4

C <PI/2

离心率为1/2，GF1和GF2不可能垂直。