Question

已知O是△ABC中任意一点,(如图所示)求证:二分之一(AB+AC+BC)<OA+OB+OC＜AB+BC+CA

Answer 1

证明：在三角形AOB中，OA+OB大于AB,
在三角形BOC中，OB+OC大于BC,
在三角形AOC中，OC+OA大于CA,
以上三式相加得：2（OA+OB+OC)大于AB+BC+CA,
所以 1/2（AB+BC+CA)小于OA+OB+OC。
延长AO交BC于D,
在三角形ABD中，AD小于AB+BD,
在三角形COD中，OC小于OD+DC,
以上两式相加得：AD+OC小于AB+BD+OD+DC
因为 AD=OA+OD, BD+DC=BC,
所以 OA+OD+OC小于AB+BC+OD,
即： OA+OC小于AB+BC,
同理 OC+OB小于CA+AB,
OB+OA小于BC+CA
以上三式相加得：2（OA+OB+OC)小于2（AB+BC+CA)
所以 OA+OB+OC小于AB+BC+CA,
又因为 1/2（AB+BC+CA)小于OA+OB+OC,
所以 1/2（AB+BC+CA)小于OA+OB+OC小于AB+BC+CA。

Answer 2

由图可知：AB+BC+CA＞OA+OB+OC(根据三角形任意两边之和大于第三边） OA+OB＞AB,OB+OC＞BC,OA+OC＞AC得2（OA+OB+OC)＞AB+AC+BB 则1／2（AB+AC+BC)＜OA+OB+OC 得1／2（AB+AC+BC)＜OA+OB+OC＜AB+BC+CA

Answer 3

根据大角对大边原则（正弦定理）
OB<BC,OA<AB, OC<AC
根据三角形两边和大于第三边原理
OB+OC>BC; OB+OA>AB; OA+OC>AC
所以 BC+AB+AC>OB+OA+OC=1/2[(OB+OC)+(OB+OA)+(OA+OC)] >1/2 (BC+AB+AC)

Answer 4

根据三角形三边关系，OA+OB>AB，
OB+OC>BC，
OA+OC>AC，三式相加即可