Question

若奇函数f(x)=x^3+bx^2+cx的三个零点x1,x2,x3 满足x1x2+x2x3+x3x1=——2010,则b+c=?

要过程!! 详!!! 谢谢!!!!
对不起啊，打错了，应该是 f(x)=x^3+(b-1)x^2+cx
x1x2+x2x3+x3x1=——2010是等于负的2010! 急！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

因为函数f(x)=x^3+bx^2+cx是奇函数，定义域是R
所以，f(-1)=-f(1)，可得b=0
所以f(x)=x^3+cx=x(x^2+c)，令f(x)=0，可得x=0或x^2+c=0
因为f(x)有三个零点x1,x2,x3 满足x1x2+x2x3+x3x1=—2010，
所以可令x3=0，则x1x2=c=—2010（韦达定理）
所以b+c=0—2010=—2010

Answer 2

f(x)=x^3+bx^2+cx是奇函数,f(-x)=-f(x)
所以f(-x)=(-x)^3+bx^2+c*(-x)=-f(x)=-(x^3+bx^2+cx)
由此得出b=0;
三个零点x1,x2,x3 ,其中必有一个x=0(因为x=0时,f(x)=0)
假设x3=0,所以x1x2+x2x3+x3x1=-2010,即x1x2=-2010,
f(x)=x^3+bx^2+cx=x*(x^2+bx+c),假设=x*g(x),同样x2,x3也是g(x)=0的根,
二次一元方程,x1+x2=-b/a,x1x2=c/a=-2010,
所以c=-2010,(因为这个方程里a=1),
最终b+c=-2010.