Question

RT三角形ABC中,角C=90度,AB=5,AC=4,点D是斜边AB中点

RT三角形ABC中,角C=90度,AB=5,AC=4,点D是斜边AB中点,把三角形ABC绕点C旋转，使得点B落在射线CD上，点A落在A', 那么AA'的长是？给画个图吧，没有想象力，网上有个答案，但实在看不懂，答案等于5分之8根号5 ，不知道怎么出来的。过程请尽量具体些，少一步都看不懂，很悲剧，谢谢

Answer 1

 

显然BC=B‘C=3，AB=A’B‘=5，CA=CA’=4；

D为AB的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质，

∠B‘=∠B=∠BCD，而∠BCD与∠DCA互补，所以∠B‘与∠DCA互补，即∠CD’B‘是直角。

在rtΔCA'B'中，CD‘是其斜边上的高，则ΔCD'B'相似于ΔA'B'C,所以

CB²=A‘B’*B‘D’，B‘D’=CB²/A‘B’=9/5

同理可得A‘D’=A‘C²/A’B‘=16/5

CD’²=B‘D’*A‘D’=9/5*16/5=12²/5²，

CD‘=12/5，D’A=AC-CD‘=4-12/5=8/5

根据勾股定理，A’A²=A‘D’²+D‘A²=16²/5²+8²/5²，A’A=8√5/5

Answer 2

显然∠1=∠B

同时∠1+∠2=90°

∠3+∠2=90°

∴∠3=∠1=∠B

显然AC=A'C

△ACA’是顶角等于∠B的等腰三角形。

∴AA'=2*AC*sin(∠B/2) 

 [∠ACE=½∠B,等腰△三线合一]

∵cos∠B=BC/AB=3/5，cos∠B=1-2sin²(∠B/2)

∴sin(∠B/2)=1/√5

∴AA'=2*AC*sin(∠B/2) =8/√5

Answer 3

（1）若是逆时针旋转角度大于90而小于180，使得点B落在斜边AB的中线DC的延长线上，则答案是AA'=16/√5，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，点D是斜边AB的中点，把△ABC绕点C逆时针旋转，使得点B落在斜边AB的中线所在的直线上，点A落在点A’。
∴△ACA’是顶角为钝角的等腰三角形，两底角等于∠B的一半。
∴AA'=2*AC*cos(∠B/2)
∵cos∠B=BC/AB=3/5，cos∠B=2cos²(∠B/2)-1
∴cos(∠B/2)=2/√5
∴AA'=16/√5
（2）若是逆时针旋转角度大于180而小于360，使得点B落在斜边AB的中线CD的延长线上，则答案是AA'=8/√5，即是五分之八根号五。
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，点D是斜边AB的中点，把△ABC绕点C逆时针旋转，使得点B落在斜边AB的中线所在的直线上，点A落在点A’。
∴△ACA’是顶角等于∠B的等腰三角形。
∴AA'=2*AC*sin(∠B/2)
∵cos∠B=BC/AB=3/5，cos∠B=1-2sin²(∠B/2)
∴sin(∠B/2)=1/√5
∴AA'=8/√5