Question

抛物线面积公式

Answer 1

这道题当然是可以不用积分的。
我先把题目重新描述一遍：
抛物线：y^2=2px（但愿你说的抛物线是这种形式的，而不是y=ax^2+bx+c）与直线y=kx+b交于两点ab(a在下，b在上)，c是ab的中点，p在抛物线上且pc平行于x轴。证明：直线与抛物线形成的曲边形apb面积，是三角形apb面积的三分之四。
证明：
连接ap，bp。取ap中点d，bp中点e。点q，r都在抛物线上，且dq，er都平行于x轴。
（
注：在开始正式的证明之前先说明两件事。
第一：为便于理解，说明一下整体思路。
因为，大的曲边形apb面积，可分为3块，曲边形aqp、曲边形brp、三角形abp。
做出三角形aqp和三角brp后，发现两块小的曲边形也各分成了三块。
我们记三角形abp的面积为s1，三角形aqp和三角brp的面积和记为s2。
现在大的曲边形apb面积，就变成s1+s2+4块更小的曲变形。
4块更小的曲变形，又可以分出4个三角形和8个曲变形。即三角形面积和为s3。
以此类推，由极限思想可以发现：大的曲边形apb面积=s1+s2+s3+s4+...
因此如果我们可以证明，对于任何正整数i。s(i)=4s(i+1)
那么就可以证明，大的曲边形apb面积=s1(1+1/4+1/4^2+...)=s1·1/(1-1/4)=4/3
·s1。
所以，我所需要证明的就是s1=4s2。
（s2=4s3等等，因为剖分的也是一样的，就同理了，也就不用再证了）
第二：三角形面积的求法。
在解析几何中求三角形面积的方法很多，但我在这道题只用一种方法，
这里以三角形abp面积举例，在后面的证明中就不再证明了，将会直接用公式：
三角形abp面积=1/2·（x(c)-x(p)）(y(b)-y(a))。
这是因为：
三角形abp面积=acp面积+bcp面积
=1/2cp·(y(c)-y(a))+1/2cp·(y(b)-y(c)
=1/2cp·(y(b)-y(a))
=1/2·（x(c)-x(p)）(y(b)-y(a))。
好了，废话都说完了，下面是证明，计算量较大，做好心理准备。
其实有了上面这些思路，后面也能自计算出来，不看也罢。
）
设a(x1,y1)b(x2,y2)
则它们是方程组：
y=kx+b
y^2=2px
的解。
消去y：
(kx+b)^2=2px
展开整理：
k^2x^2+(2kb-2p)x+b^2=0
故
x1+x2=(2p-2kb)/k^2
|
x1x2=b^2/k^2
所以
(x2-x1)^2
=(x1+x2)^2-4x1x2
=4(p^2-2pkb)/(k^4)
y1+y2
=kx1+b+kx2+b
=k(x1+x2)+2b
=2p/k
(y2-y1)^2
=[(kx2+b)-(kx1+b)]^2
=k^2(x2-x1)^2
=4(p^2-2pkb)/(k^2)
下面就你自己算了，把这些东东带进去就好了，如果还需要帮助的话，可以打问题补充，我明天再把后面过程补上去，不需要的话我就不补了。

Answer 2

我暂且定义抛“物线的顶点三角形”是以抛物线的顶点、抛物线的两个截点构成的三角形，其三角形面积为S。那么抛物线下面（含抛物线顶点三角形的那部分）的面积为4S/3.如果抛物线是反过来放的(二次项系数大于零的情况），就用矩形面积减去4S/3

Answer 3

记f(x)=ax^2+bx+c=0的两根为p,q
令F(x)=(a/3)x^3+(b/2)*x^2+c*x
则面积S=[F(q)-F(p)]
[]表示绝对值