Question

已知：如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点P，且P为BC中点，PD⊥AC于点D

（1）求证：PD是⊙O的切线
（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值．
过程尽量详细的加分哦

Answer 1

（1）连接OP，O为AB中点，P为CB中点，OP为CA的平行线，DP垂直于CA，所以垂直于OP，OP为圆的半径，所以PD为圆的切线。（2）连接AP，由（1）可得OP=1，CA=2，三角形APB全等于三角形ACP，AP为ACB垂直平分线，AB=2，AP=1，PB为根号3，BC为2跟3

Answer 2

（1）证明：连接AP,OP
因为AB是圆O的直径
所以角APB=角APC=90度
因为P是BC的中点
所以BP=CP
因为AP=AP
所以三角形APC和三角形APB全等（SAS)
所以角PAC=角PAB
因为OA=OP
所以角OAP=角OPA
所以角OPA=角PAC
所以OP平行AC
所以角ADP+角OPD=180度
因为PD垂直AC于D
所以角ADP=90度
所以角OPD=90度
因为OP是圆O的半径
所以PD是圆O的切线
（2）解：因为三角形APC和三角形APB全等（已证）
所以角A=角C
因为角A+角C+角CAB=180度
见见CAB=120度
所以角B=30度
所以AP=1/2AB
AB^2=BP^2+AP^2
AB=2
所以BP=根号3
BC=CP+BP=2根号3

Answer 3

解：（1）连接OP,
∵OP=OA,
∴∠OPA=∠BAP
∵AB是直径
∴AP垂直BC
又∵P为BC中点
∴三角形BAC为等腰三角形
∠CAP=∠BAP=∠OPA

∴: OP平行AC
∵PD垂直AC
∴:PD垂直OP
∴PD是圆O的切线
（2）∠CAB＝120°
∠BAP=∠CAB/2=60°
BP=AB*sin60°=根号3
BC=2BP=2*根号3