Question

在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD中点,CE⊥AB于E

在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD中点,CE⊥AB于E
设∠ABC=α（60°≤α＜90°）
（1）当α=60°时，求CE的长
（2）当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由。
②连接CF，当BE为何值时，CE²-CF²取最大值。

Answer 1

（1）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF。理由如下：
连接CF并延长交BA的延长线于点G，
∵F为AD的中点，∴AF=FD。
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。
在△AFG和△CFD中，
∵∠G=∠DCF， ∠G=∠DCF，AF=FD，
∴△AFG≌△CFD（AAS）。∴CF=GF，AG=CD。
∵CE⊥AB，F是GC边中点 ∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。
∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，∴AG=5，AF= AD= BC=5。∴AG=AF。
∴∠AFG=∠G。
在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，
又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF。
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF。
（2）设BE=x，∵AG=CD=AB=5，∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x，
在Rt△BCE中，CE2=BC2-BE2=100-x2。
在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10-x）2+100-x2=200-20x。
∵CF=GF（①中已证），∴CF2=（ CG2）/4=50-5x。
∴CE2-CF2=100-x2-50+5x=-x2+5x+50=-（x-2.5 ）2+50+(2.5)2 。
∴当x=2.5 ，即点E是AB的中点时，CE2-CF2取最大值。