Question

已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C（1，-2），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点

已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C（1，-2），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，0），B点在y轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设点P的横坐标为x，求线段PE的长（用含x 的代数式表示）；
（3）点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似，请求出P点的坐标．
求解答

Answer 1

(1)
由已知条件可判断出此二次曲线为抛物线，且其方程可设为
y = a(x - 1)^2 - 2

A点在曲线上，因此有
a(3 - 1)^2 - 2 = 0
a = 1/2

曲线方程为
y = (1/2) * (x - 1)^2 - 2 = x^2/2 - x - 3/2
设B点坐标为(0, y1)代入曲线方程，有
y1 = -3/2
B点坐标为(0, -3/2)

B点在直线上，因此有
y1 = m = -3/2

A点在直线上，因此有
3k + m = 0
k = -m/3 = -(-3/2)/3 = 1/2

直线方程为
y = x/2 - 3/2

(2)
设
P点坐标为 (xp, yp)
E点坐标为 (xe, ye)
xp = xe，故
PE = yp - ye = x/2 - 3/2 - (x^2/2 - x - 3/2) = -x^2/2 + 3x/2 = x/2 * (3 - x)
x ∈ (0, 3)

(3)
由图中可知△AOB为直角三角形， ∠DPE恒定，不为直角。

考虑∠PDE的情况
过D点做DF⊥AB并与二次曲线交于F点，当E点与F点重合时，做EP延长线交X轴于Q点。
∠QPA与∠DPE为对顶角相等，PE∥OB，∠ABO = ∠QPA = ∠DPE
△AOB与△PED都是直角三角形，因此相似，下面求解此时的P点坐标
设D点坐标为 (1, yd)，代入直线方程有
yd = 1/2 - 3/2 = -1
设直线DE的方程为
y = -x/2 + b1
将D点代入有
-1 = -1/2 + b1
b1 = -1/2
直线DE方程为
y = -x/2 - 1/2
与二次曲线交于E点，即在E点
-xe/2 - 1/2 = xe^2/2 - xe - 3/2
xe^2 - xe - 2 = 0
(xe + 1)(xe - 2) = 0
xe = -1 舍弃
xe = 2
xp = xe = 2
代入直线AB的方程可得
yp = 2/2 - 3/2 = -1/2
此时 P点坐标为 (2, -1/2)

考虑∠DEP的情况
当DE∥OA时，因为PE∥OB，△AOB与△PED相似
此时ye = yd = -1
ye = xe^2/2 - xe - 3/2 = -1
xe^2 - 2xe - 1 = 0
xe = 1 ± √2
负数舍弃
xp = xe = 1 + √2
代入直线AB的方程可得
yp = (1 + √2)/2 - 3/2 = √2/2 - 1
此时P点坐标为 (1 + √2, √2/2 - 1)

Answer 2

Answer 3

刚在菁优网上解一道题，可惜没被采纳，只能看着错误答案在那摆着，又无能为力。有点郁闷。
你的问题在哪里呢？

追问

每问都要正确答案

追答

解法很规范，你的问题究竟在哪里呢？需要我做点什么吗？
第3问中，xQ=xP=x，yQ=-1，表明，Q点与P点的的横坐标都设x，Q点的纵坐标为-1。这种表示方法还是挺有意思的。