Question

等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)，均在函数...

等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)，均在函数y=bx+r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上. (1)求r的值; (2)当b=2时，记bn=n+14an(n∈N*)，求数列{bn} 的前n项和Tn (3)由(2)，是否存在最小的整数m，使得对于任意的n∈N*，均有3-2Tn＜m20，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

解答:解:(1)因为对任意的n∈N*，点(n，Sn)，均在函数y=bx+r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上
所以得
Sn=bn+r，
当n=1时，a1=S1=b+r，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r )=(b-1)b
n-1，
又因为{an}为等比数列，∴公比为b，所以
a2
a1
=
(b-1)b
b+r
=b，解得r=-1，首项a1=b-1，
∴an=(b-1)bn-1
(2)当b=2时，an=2n-1，bn=
n+1
4an
=
n+1
4×2n-1
=
n+1
2n+1

则 Tn=
2
22
+
3
23
+
4
24
+…+
n+1
2n+1
∴
1
2
Tn=
2
23
+
3
24
+
4
25
+…+
n+1
2n+2

两式相减，得
1
2
Tn=
2
22
+
1
23
+
1
24
+…+
1
2n+1
-
n+1
2n+2
=
1
2
+
1
23
(1-
1
2n-1
)
1-
1
2
-
n+1
2n+2
=
3
4
-
1
2n+1
-
n+1
2n+2
∴Tn=
3
2
-
1
2n
-
n+1
2n+1
=
3
2
-
n+3
2n+1
(3)若
3-2Tn＜
m
20
使得对于任意的n∈N*，都成立
∴3-(3-
n+3
2n
)＜
m
20
，
即
n+3
2n
＜
m
20
对于任意的n∈N*，都成立
又
(n+1)+3
2n+1
-
n+3
2n
=
-n-2
2n
＜0，
∴
n+3
2n
的最大值在n=1时取得，最大值为2，
∴
m
20
＞2，m＞40，所以存在这样的m=41符合题意.