设A,B,A＋B,均为n阶可逆矩阵,证明A^-1+B^-1为可逆矩阵,并写出（A...
设A,B,A＋B,均为n阶可逆矩阵,证明A^-1+B^-1为可逆矩阵,并写出（A^-1+B^-1)^-1,...
设A,B,A＋B,均为n阶可逆矩阵,证明A^-1+B^-1为可逆矩阵,并写出（A^-1+B^-1)^-1,
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2个回答
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容易验证:(A^-1)(A+B)(B^-1)=B^-1+A^-1.**由于可逆阵的逆阵可逆,可逆阵的乘积可逆,由上式知:A^-1
+B^-1可逆.再由性质:(AB)^-1=(B^-1)(A^-1)由(**)式,两端取逆,得:(A^-1
+B^-1)^-1==[(B^-1)]^-1}[(A+B)^-1][(A^-1)^-1]=(B)[(A+B)^-1](A)
+B^-1可逆.再由性质:(AB)^-1=(B^-1)(A^-1)由(**)式,两端取逆,得:(A^-1
+B^-1)^-1==[(B^-1)]^-1}[(A+B)^-1][(A^-1)^-1]=(B)[(A+B)^-1](A)
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