Question

如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3与x轴,y轴分别交于点B,C;抛物线y=-x2+bx+c

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)设P(x，y)是(1)所得抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N．
A
O
M
B
N
C
P
x
y
l
①若点P在第一象限内．试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
②求以BC为底边的等腰△BPC的面积．

Answer 1

2010•海南中考数学

解：（1）由于直线y=-x+3经过B、C两点，
令y=0得x=3；令x=0，得y=3，
∴B（3，0），C（0，3），
∵点B、C在抛物线y=-x2+bx+c上，于是得
-9+3b+c=0c=3
，
解得b=2，c=3，
∴所求函数关系式为y=-x2+2x+3；

（2）①∵点P（x，y）在抛物线y=-x2+2x+3上，
且PN⊥x轴，
∴设点P的坐标为（x，-x2+2x+3），
同理可设点N的坐标为（x，-x+3），
又点P在第一象限，
∴PN=PM-NM，
=（-x2+2x+3）-（-x+3），
=-x2+3x，
=-(x-
32
)2+
94
，
∴当x=
32
时，
线段PN的长度的最大值为
94
．
②解：
由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，
又由①知，OB=OC，
∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线，
∴设点P的坐标为（a，a），
又点P在抛物线y=-x2+2x+3上，于是有a=-a2+2a+3，
∴a2-a-3=0，
解得a1=
1+
132
，a2=
1-
132
，（10分）
∴点P的坐标为：(
1+
132
，
1+
132
)或(
1-
132
，
1-
132
)，
若点P的坐标为(
1+
132
，
1+
132
)，此时点P在第一象限，
在Rt△OMP和Rt△BOC中，MP=OM=
1+
132
，
OB=OC=3，
S△BPC=S四边形BOCP-S△BOC=2S△BOP-S△BOC=2×
12
•BO•PM-
12
BO•CO，
=2×
12
×3×
1+
132
-
92
，
=
3
13-62
，
若点P的坐标为(
1-
132
，
1-
132
)，此时点P在第三象限，
则S△BPC=S△BOP+S△COP+S△BOC=
12
×3×|
1-
132
|×2+
12
×3×3，
=
12
×3×
13-12
×2+
92
=
3
13-3+92
=
3
13+62

Answer 2

第一步由BC两点同时过两函数代入解析式易得B坐标为（3,0）C坐标为（0,3）
解析式为y=-x*2+2x+3
设点P N的坐标分别为（x,-x*2+2x+3) (x,3-x)
依据平面几何两点间距离公式可以列出式子PN=-x*2+2x+3-(3-x)=-(x-3/2)*2+9/4即得最大值和对应的x值
再次依据平面几何两点间距离公式列出表示PB PC 的代数式 然后PB=PC列方程求解有二代回函数解析式检验P点是否会在其上 可得P的横坐标等于（1-根号13）/2
最后用三角形在平面直角坐标系上求面积的常用方法 就是利用铅垂高甚么的可以求出其面积