Question

已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|，若不等式|a+b|+|a-b|>=|a|f(x)恒成立。

已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|，若不等式|a+b|+|a-b|>=|a|f(x)恒成立。 (a不等0，a,b属于R)，求实数x范围

Answer 1

因为
[|a+b|+|a-b|]^2=2*(a^2+b^2+|a^2-b^2|)
若 |a|>|b|
则 [ |a+b|+|a-b| ]^2=4a^2
若 |a|≤|b|
则 [ |a+b|+|a-b| ]^2=4b^2≥4a^2
故 |a+b|+|a-b|≥2|a|
若 2|a|≥|a|f(x) , 即 f(x)≤2 (a不为0)
则 |a+b|+|a-b|≥|a|f(x) 恒成立
(1)
1≤x≤2 时
f(x)=x-1-(x-2)=1<2
即 x∈[1,2] 时，不等式成立
(2)
x<1 或 x>2 时
f(x)=|2x-3|≤2 ==> -2≤(2x-3)≤2
解得 1/2≤x≤5/2 . 即 x∈[1/2,1)∪(2, 5/2]
综合(1) 得 x∈[1/2, 5/2]