Question

已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(√3,-1)θ∈[0,π].若│2a-b│﹤m恒成立，求实数m的范围

求过程和解题思路~。。。。

Answer 1

向量(2a-b)
=2(cosθ，sinθ)-(√3，-1)
=(2cosθ-√3，2sinθ+1)
则(2a-b)²
=(2cosθ-√3)²+(2sinθ+1)²
=4cos²θ-4√3cosθ+3+4sin²θ+4sinθ+1
=4sinθ-4√3cosθ+8
=8(1/2*sinθ-√3/2*cosθ)+8
=8sin(θ-π/3)+8
∵θ∈[0,π]
∴θ-π/3∈[-π/3,2π/3]
即sin(θ-π/3)∈(-√3/2，1]
∴当sin(θ-π/3)=1时，(2a-b)²取得最大值16
即|2a-b|的最大值为4
又∵要使│2a-b│﹤m恒成立，必须是的m大于|2a-b|的最大值
即m∈[4，+∞)

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Answer 2

解：
2a-b
=（2cosθ-√3，2sinθ+1）
所以│2a-b│

=√【（2cosθ-√3）²+（2sinθ+1）²】
=√（4cos²θ+3-4√3cosθ+4sin²θ+1+4sinθ）
=√（4sinθ-4√3cosθ+8）
=2√（sinθ-√3cosθ+2）
=2√【2sin（θ+π/3）+2】，θ∈[0,π]
│2a-b│﹤m恒成立即2√【2sin（θ+π/3）+2】﹤m恒成立

所以只需m大于2√【2sin（θ+π/3）+2】的最大值即可。
θ∈[0,π]，所以θ+π/3∈[π/3,4π/3]

所以当θ+π/3=π/2时，2√【2sin（θ+π/3）+2】取得最大值，为4
所以m＞4
注：恒成立问题一般分离参数转化为函数最值问题。

Answer 3

│2a-b│=√[（2a-b）^2]
=√[4a^2-4ab+b^2]
=√[4-√3cosθ-sinθ+4]
=√[8-√3cosθ-sinθ]
=√8+8sin(θ-π/3), θ∈[0,π], θ-π/3∈[-π/3,2π/3],
sin(θ-π/3)∈[-(√3）/2，1],
∴|2a-b|的最大值是4，最小值是√6-√2。
m>4 (m大于最大值)

追问

能讲一下为什么4ab等于√3cosθ-sinθ吗？

追答

a=(cosθ,sinθ),b=(√3,-1)

4ab=4√3cosθ-sinθ
写漏了
│2a-b│=√[（2a-b）^2]
=√[4a^2-4ab+b^2]
=√[4-4(√3cosθ-sinθ)+4]
=√[8-4(√3cosθ-sinθ)]
=√8+8sin(θ-π/3),

Answer 4

你好，很高兴回答你问题

∵向量a=(cosθ,sinθ),b=(√3,-1)
∴向量2a-b=(2cosθ-√3，2sinθ+1),
∴|2a-b|^2=(2cosθ-√3）^2+(2sinθ+1)^2
=8-4√3cosθ+4sinθ
=8+8sin(θ-π/3),
∵θ∈[0,π],
∴θ-π/3∈[-π/3,2π/3],
∴sin(θ-π/3)∈[-(√3）/2，1],
∴|2a-b|的最大值是4，最小值是0
∵│2a-b│﹤m恒成立
∴0≤m≤4

追问

不对，答案上写的是（4，正无穷）

追答

不好意思，我写错了

∴|2a-b|的最大值是4，最小值是0
这个推得

0≤2a-b≤4
∴m一定大于4
∴m是（4，﹢∞）

Answer 5

解：∵|a|=√[(sinθ)^2+(cosθ)^2]=1 , |b|=√(3+1)=2
∴|2a-b|=√(2a-b)^2]
=√[4a^2-4ab+b^2]
=√[4-√3cosθ-sinθ+4]
=√[8-√3cosθ-sinθ]
=√8+8sin(θ-π/3), θ∈[0,π],
θ-π/3∈[-π/3,2π/3],
sin(θ-π/3)∈[-(√3）/2，1],
∴|2a-b|的最大值是4，最小值是√6-√2。
m>4

解析：此题考查的是向量及不等式的性质，│2a-b│﹤m则m>(│2a-b│)max , 所涉及到向量的模和向量的内积公式有：|a|=√(x^2+y^2) |a|^2=a^2, a·b=x1x2+y1y2

Answer 6

向量2a-b=(2cosθ-√3，2sinθ+1),
∴|2a-b|^2=(2cosθ-√3）^2+(2sinθ+1)^2
=8-4√3cosθ+4sinθ
=8+8sin(θ-π/3),θ∈[0,π],θ-π/3∈[-π/3,2π/3],
sin(θ-π/3)∈[-(√3）/2，1],
∴|2a-b|的最大值是4
即m=4