Question

两个相互独立的样本的方差计算公式是什么？两个样本的方差为什么可以相加？

Answer 1

若两个随机变量X和Y相互独立，那么两个随机变量的和的方差等于各自方差的和：

 D(X+Y) = D(X)+D(Y)                   

这是因为：D(X+Y) = E{(X+Y)-[E(X)+E(Y)]}^2

= E{[X-E(X)]+[Y-E(Y)]}^2

 = E[X-E(X)]^2 + 2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} + E[Y-E(Y)]^2

= D(X) + D(Y) + 2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

=  D(X) + D(Y)

这是因为 X、Y相互独立，E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0        

因此： D(X+Y) = D(X)+D(Y)

统计学意义

当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。因此方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。

样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。

Answer 2

1. 若两个随机变量X和Y相互独立，那么两个随机变量的和的方差等于各自方差的和：

                                   D(X+Y) = D(X)+D(Y)                   （1）

2. 这是因为：D(X+Y) = E{(X+Y)-[E(X)+E(Y)]}^2

                                 = E{[X-E(X)]+[Y-E(Y)]}^2

                                 = E[X-E(X)]^2 + 2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} + E[Y-E(Y)]^2

                                 = D(X) + D(Y) + 2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

                                 =  D(X) + D(Y)

   这是因为 X、Y相互独立，E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0          （2）

   因此：                              D(X+Y) = D(X)+D(Y)