Question

已知数列的前项和为,且.求证:数列是等比数列;是否存在正整数,使成立.

已知数列的前项和为,且. 求证:数列是等比数列; 是否存在正整数,使成立.

Answer 1

根据,,两式相减,即可得数列的通项公式;
先利用等比数列的求和公式,再利用成立,得出结论,从而可确定是否存在正整数,使成立.
证明:由题意,,,两式相减得
当时,,得.
数列是以首项,公比为的等比数列.
解:由知
等价于
是正整数,
正整数,这与相矛盾,
故不存在这样的,使不等式成立.
本题考查等比数列的通项与求和,考查不等式成立问题.其中第一问涉及到已知前项和为求数列的通项公式,掌握常用方法是关键.