Question

二次函数y=-1/4x^2+bx+c的图像经过A(4,0),B(-4,-4)且与y轴交于点C

若P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作y轴的平行线，分别交此二次函数及x轴于Q、H两点，是否存在这样的点P，使PH=2QH?求P点

Answer 1

P不存在.

y=-1/4x^2+bx+c的图像经过A(4,0),B(-4,-4),-4+4b+c=0,-4-4b+c=4,c=6,b=-1/2,

y=-1/4x²-1/2x+6,(-4<x<4)

yab=kx+b,     4k+b=0,  -4k+b=-4,b=-2,k=1/2   ,y=1/2x-2

设P(X,,1/2x-2)  ,H(X,=-1/4x²-1/2x+6,),Q(X,0),PH=2QH

PH=,-1/4x²-1/2x+6+1/2x-2=-1/4x²+4,2QH=2(-1/4x²-1/2x+6)=-1/2x²-x+12,

-1/2x²-x+12=-1/4x²+4    .-1/4x²-x+8=0     x²+4x-32=0   ,x=(-4±√16+128)/2=(-2±6)

x1=4,x=-8,因(-4<x<4),所以P不存在.

追问

P一定是存在的，我们老师说的
帮忙再想想

追答

如果存在,就在AB或BA的延长线上,
x=(-4±√16+128)/2=(-2±6),
x1=-8,y1=1/2*(-8)-2=-6
x2=4,y21/2*4-2=0
P(-8,,-6),或(4,0)

Answer 2

解：因为，A(4,0),B(-4,-4)
所以，抛物线：y=-1/4x^2+1/2x+2
直线AB：y=1/2x-2
所以，设存在点P（x，1/2x-2）
所以，Q（x,=-1/4x^2+1/2x+2），H（x，0）
所以，PH=2-1/2x，QH=-1/4x^2+1/2x+2
因为，PH=2QH
所以，2-1/2x=2（=-1/4x^2+1/2x+2），即x^2-3x-4=0
所以，P（-1,-5/2）或（4,0）舍
综上，存在P（-1,-5/2）