Question

如图,二次函数y=-1/4x²+bx+c的图像,经过点A(4,0)B(-4,-4)且与y轴交于点C

如图,二次函数y=-1/4x平方;+bx+c的图像,经过点A(4,0)B(-4,-4)且与y轴交于点C
（1）试求此二次函数的解析式
（2）试证明：∠BAO=∠CAO（其中C为原点）
（3）若P是线段AB上一个动点（不与A、B重合），过点P做y轴的平行线，分别交此二次函数图象及x轴于Q、H两点，试问：是否存在这样的点P，使PH=2QH？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1)将 A， B，C 三点代入解析式， 得 b=1/2 ， c= 2
所以y==-1/4x²+1/2x+2
(2)证明：直线BA过点（0，—2）令其为点D ，则由图可知，CA=DA ,CO=DO ,OA公用边，则可知 三角形CAO=三角形DAO 全等。所以∠BAO=∠CAO
（3）

Answer 2

⑴抛物线过A、B得方程组：
0=-4+4b+c
-4=-4-4b+c
解得：b=1/2，c=2，
∴Y=-1/4X^2+1/2X+2，
⑵抛物线与Y轴将于C(0，2)，
易得直线AB解析式：Y=1/2X-2，与Y轴将于D(0，-2)，
∴OC=OD=2，OA=OA，∠AOC=∠AOD=90°，
∴ΔAOC≌ΔAOD，∴∠BAO=∠CAO。
⑶抛物线与X轴另一交交点E(-2，0)，
设P(m，1/2m-2)，则Q(m，-1/4m^2+1/2m+2)，H(m，0)，
∴PH=-(1/2m-2)=2-1/2m，QH=|-1/4m^2+1/2m+2|
①当-2<m≤4时，
2-1/2m=2(-1/4m^2+1/2m+2)，m^2-3m-4=0，m=4或-1，
∴P1(4，0)，P2(-1，-5/2)；
②当-4≤m≤-2时，
2-1/2m=2(1/4m^2-1/2m-2)，m^2-m-12=0，m=-3或4(舍去)，
∴P3(-3，-7/2)。
综上所述：存在满足条件的点P有三个：
(4，0)、(-1，-5/2)、(-3，-7/2)。