Question

高中数学:圆锥曲线的离心率。请解析，谢。

向左转|向右转

Answer 1

你没做错，可能是答案错了
假设从F(c,0)向y=-bx/a作垂线，则垂线方程为y=a(x-c)/b,则交点：
A[ca^2/(b^2+a^2),-cba/(b^2+a^2)]
B[-ca^2/(b^2-a^2),cba/(b^2-a^2)]
FB=2FA,则：
[c+ca^2/(b^2-a^2)]^2+[-cba/(b^2-a^2)]^2=4{[c-ca^2/(b^2+a^2)]^2+[cba/(b^2+a^2)]^2}
c^2(b^4+a^2b^2)/(b^2-a^2)^2=4c^2(b^4+a^2b^2)/(b^2+a^2)^2
因为a>0,b>0,所以c>0,所以4(b^2-a^2)^2=(b^2+a^2)^2
如果b>a,则2(b^2-a^2)=(b^2+a^2),所以b^2=3a^2,所以b=√3a，
所以c=√(a^2+b^2)=2a,e=c/a=2;
如果b<a,则2(b^2-a^2)=-(b^2+a^2),所以b^2=a^2/3,所以b=√3a/3
所以c=√(a^2+b^2)=2√3a/3,e=c/a=2√3/3;