已知函数z=z(x,y)由方程F(x+z/y,y+z/x)=0所确定,其中F具有一阶连续偏导数.

证明:x∂z/∂x+y∂z/∂y=z-xy... 证明:x∂z/∂x+y∂z/∂y=z-xy 展开
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对方程 F(x-z/y,y-z/x) = 0 两端求微分,得

F1*[dx-(ydz-zdy)/y²]+F2*[dy-(xdz-zdx)/x²] = 0,

整理成dz = ----dx + ----dy就是。

例如:

先用换元法令u=x–z,v=y–z,则复合函数F(x–z,=y–z)是关于x,y的复合函数,u,v,z是中间变量,根据多元复罩敬合函数的求导法则,方程两边分别闭闷没轿纳对自变量x和y求导,求得z对x,y偏导数的解析式,化简后就可以得到所求结果。

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ,点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ,相应地函数 z=f(x,y) 有增量(称为对 x 的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在,那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数,记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数,实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后,一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

zytcrown
2013-03-09 · TA获得超过2304个赞
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