已知双曲线C的两个焦点分别为F1(-√3,0),F2(√3,0 ),渐近线方程为y=±√2x
(1)求双曲线C的方程(2)若过点F1(-√3,0)的直线l与双曲线的左支有两个交点,且点M(0,1)到l的距离小于1,求直线l的倾斜角的范围...
(1)求双曲线C的方程 (2)若过点F1(-√3,0)的直线l与双曲线的左支有两个交点,且点M(0,1)到l的距离小于1,求直线l的倾斜角的范围
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解：(1). d对于双曲线， a^2+b^2=c^2.
已知：c=±√3.
a^2+b^2=3.
由y=±(b/a)x=±√2x, --->b/a=√2.
b=√2a.
b^2=2a^2.
a^2+b^2=c^2.
3a^2=3.
a^2=1.
∴所求双曲线的标准方程为：x^2-y^2/2=1.
(2). 设过F1(-√3,0)的直线l的方程为：y=k(x+√3).
将此直线方程化为一般形式：kx-y+√3k=0
M(0,1)至直线l的距离d=|-1*1+√3k}/(√(k^2+1)<1.
|√3k-1|<√(k^2+1). ∵√ k^2+1) ∈R,
∴ ( √3k-1)^2<k^2+1.
3k^2-2√3k+1<k^2+1.
2k^2-2√3k<0.
k(k-√3)<0.
k>0,
k-√3<0
k<√3.
∴0<k<√3.
已知：c=±√3.
a^2+b^2=3.
由y=±(b/a)x=±√2x, --->b/a=√2.
b=√2a.
b^2=2a^2.
a^2+b^2=c^2.
3a^2=3.
a^2=1.
∴所求双曲线的标准方程为：x^2-y^2/2=1.
(2). 设过F1(-√3,0)的直线l的方程为：y=k(x+√3).
将此直线方程化为一般形式：kx-y+√3k=0
M(0,1)至直线l的距离d=|-1*1+√3k}/(√(k^2+1)<1.
|√3k-1|<√(k^2+1). ∵√ k^2+1) ∈R,
∴ ( √3k-1)^2<k^2+1.
3k^2-2√3k+1<k^2+1.
2k^2-2√3k<0.
k(k-√3)<0.
k>0,
k-√3<0
k<√3.
∴0<k<√3.
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