Question

求斯坦纳定理详细证明

Answer 1

你好！
在△ABC中，BD,CE为其角平分线，且BD=CE
设∠ABD=∠CBD=x,∠ACE=∠BCE=y
根据张角定理，有
2cosx/BD=1/AB+1/BC
2cosy/CE=1/AC+1/BC
则2*AB*BC*cosx/(AB+BC)=BD=CE=2*AC*BC*cosy/(AC+BC)
即(AB*(AC+BC))/(AC*(AB+BC))=cosy/cosx
利用分比定理。并对cosy-cosx使用和差化积
AB-AC=(-(2*AC*(AB+BC))/(BC*cosx))*sin((y+x)/2)*sin((y-x)/2)
若AB>AC，则上式左端为正，右端为负
若AB<AC，则上式左端为负，右端为正
故AB=AC