Question

f(x)在[0,1]单调递减，且连续 任意x∈[0,1] 证明 ∫(0~x)f(t)dt ≥x∫(0~1)f(t)dt

Answer 1

注意到∫(0~1)f(t)dt=∫(0~x)f(t)dt ∫(x~1)f(t)dt,所以只需要证明

∫(0~x)f(t)dt≥x∫(0~x)f(t)dt x∫(x~1)f(t)dt,即(1-x) ∫(0~x)f(t)dt ≥x∫(x~1)f(t)dt.

因为f(x)在[0,1]单调递减,所以∫(0~x)f(t)dt ≥xf(x),∫(x~1)f(t)dt≤(1-x)f(x).

因此(1-x) ∫(0~x)f(t)dt ≥(1-x)xf(x)≥x∫(x~1)f(t)dt.

于是不等式得证.

追问

因为f(x)在[0,1]单调递减,所以∫(0~x)f(t)dt ≥xf(x),∫(x~1)f(t)dt≤(1-x)f(x).

这一步是怎么得出的呢？

追答

单调性知∫(0~x)f(t)dt ≥∫(0~x)f(x)dt =xf(x)