Question

关于泰勒级数收敛问题？

这个函数f（x）在x＝0处的幂级数的和函数为什么不收敛于f（x）本身呢？

Answer 1

展开后是一个函数项级数，它有收敛区间，也就是说，当自变量x在一定范围内级数是收敛的，当自变量x超出一定范围级数就是发散的。

要先求收敛半径，再判断端点情况。

还是举个例子吧：

y=lnx在x=0点展开：
lnx=x-(x^2)/2+(x^3)/3-(x^4)/4+...

求收敛半径：
lim{n->无穷大} |An+1/An|
=lim{n->无穷大} |n/n+1|
=1

判断端点：
当x=-1时，原级数是调和级数，发散。
当x=1时，原级数是一个交错级数，容易证明收敛。

所以收敛域是(-1,1].

也就是说，当x属于(－1.1]时，
lnx=x-(x^2)/2+(x^3)/3-(x^4)/4+...
当x不属于(－1.1]时，lnx是不能展开成级数的。比如
ln10=10-10^2/2+10^3/3-...
这个式子是错的，左边是个确定的数ln10，但右边发散的，两者不等。

Answer 2

这个函数在x=0处可以泰勒展开么？感觉它不能无穷次可导啊

追问

可以的，展开之后的幂级数式子恒为0，但是这个式子仅仅在x＝0这一点成立，而在0的任何邻域内均不恒成立，所以我就好奇原因是什么。

追答

“可以的”的证明呢？这就要求f(x)在x=0处的任意阶导数都是0，且任意阶导数都连续，如果任意阶导数都连续，和函数也不可能不连续啊

追问

我记得用导数的定义是可以证明在x＝0处的任意阶导都为0

追答

根据可导即连续，如果任意阶导数存在，那么任意阶导数连续，函数也肯定连续，你说它和函数不连续那肯定有问题。

追问

没有说和函数不连续呀。和函数就是S（x）＝0

追答

你不是说不收敛于f(x)么？那你所谓的不收敛是啥意思啊？

追问

是我表述有问题，我其实是想说和函数S（x）和f（x）不相等。

追答

你是想把x=0的展开式和x不等于0的展开式一致？你函数本来就是分段函数，为什么要求泰勒展开式不是分段的呢？