Question

浙江2011高考数学题 4x²+y²+xy=1 则2x+y的最大值

这属于考什么类的题目 一般的解决方法和思路有哪些。不要解题过程 就是讲做题方法。

Answer 1

先整形

4x²+y²+xy = (2x+1/4 *y)² +15/16 * y²

再换元
令
u = 2x + 1/4 *y
v = √15 /4 *y

2x+y = 2x+ 1/4*y + 3/4 *y = u + 3/4 * 4/√15 * v= u + √(3/5) *v

即在UoV坐标系求 圆 C: u² + v² = 1上的动点 (m, n)， m + √(3/5) *n 的最大值
所以点 (m, n)
是下面方程组的解
u + √(3/5) *v = k

u² + v² = 1

k为所求最大值
代入v
u² + v² =u² + ((k-u)/√(3/5))²

= u² +5/3 *(k² -2ku+ u²)
=1

所以

8/3 u² -10/3 ku + 5/3 k² -1 =0
最大值u只有一个解，直线u + √(3/5) *v = k，跟圆相切

delta = （10/3 k）² -4 *8/3 *(5/3 k² -1) =0
再化简
5 k² = 8
k = +/- 2√10 / 5
舍去负值
k = 2√10 / 5

Answer 2

因式分解。拆拆拆，合合合就搞定咯