Question

已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，

直线l经过A、C两点．

（1）求直线l的函数表达式；
（2）若P是直线l上的一个动点，请直接写出当△OPA是等腰三角形时点P的坐标；

（3）如图2，若点D是OC的中点，E是直线l上的一个动点，求使OE+DE取得最小值时点E的坐标

Answer 1

1、C（0，4） A（4，0） 直线 l：y=-x+4

2、若OP=AP，此时△OPA为等腰直角三角形，且P为AC中点，因此P（2，2）

若OP=OA，此时P与C重合，P（0，4）

若OA=PA
①如P在第一象限，设P（a，b） 则a/OA=CP/CA，且CA=4√2，CP=CA-PA=CA-OA=4√2-4
解得a=4-2√2，代入l方程得出b=2√2 因此P（4-2√2，2√2）
②如P在第四象限，同理可得P（4+2√2，-2√2）

3、因为B和O关于直线l对称，连结DB，设它与CA的交点为E。那么OE=BE
此E点即为所求（D，E，B此时共线，故OE+DE=DB最小）
由D（0，2） B（4，4）得出DB所在直线方程为：y=（1/2）x+2
再联立AC方程后解得：x=4/3，y=8/3 故E坐标为（4/3，8/3）