Question

在平面直角坐标系中，已知A（0，3），B（4，0），设P、Q分别是线段AB、OB上的动点，它们同时出发，点P

点P以每秒3个单位的速度从点A向点B运动，点Q以每秒1个单位的速度从点B向点O运动．设运动时间为t（秒）．
在什么条件下，以Rt△OPQ的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线？
为什么啊？谢谢

Answer 1

要使以 RtOPQ 的三个顶点能确定一条对称轴平行于 y 轴的抛物线，
必须且只须 P=90°。
t 秒后 Q 坐标为（4-t，0），P 坐标为（12t/5，3-9t/5），
由于 OP丄PQ ，因此 OP^2+PQ^2=OQ^2 ，
即 (12t/5)^2+(3-9t/5)^2+(12t/5-4+t)^2+(3-9t/5)^2=(4-t)^2 ，
解得 t=15/19 或 t=1 。

追问

不好意思，为什么必须且只须 P=90°呢
解释一下，谢谢

追答

如果角 POQ 或 PQO 为90度，那么 PO丄x 轴或 PQ丄x 轴。抛物线开口向上或向下时，它上面有两点连线垂直于 x 轴吗？？没有吧？？因此只能是角 OPQ 为90度。

Answer 2

解：（1）作PM⊥y轴，PN⊥x轴．
∵OA=3，OB=4，
∴AB=5．
∵PM∥x轴，
∴PM OB =AP AB ，
∴PM 4 =3t 5 ，
∴PM=12 5 t．
∵PN∥y轴，
∴PN OA =PB AB
∴PN 3 =5-3t 5 ，
∴PN=3-9 5 t，
∴点P的坐标为（12 5 t，3-9 5 t）．
（2）①当∠POQ=90°时，t=0，△OPQ就是△OAB，为直角三角形．
②当∠OPQ=90°时，△OPN∽△PQN，
∴PN2=ON•NQ．
（3-9 5 t）2=12 5 t（4-t-12 5 t）．化简，得19t2-34t+15=0，
解得t=1或t=15 19
③当∠OQP=90°时，N、Q重合．∴4-t=12 5 t，
∴t=20 17 ．
综上所述，当t=0，t=1，t=15 19 ，t=20 17 时，△OPQ为直角三角形．
（3）当t=1或t=15 19 时，即∠OPQ=90°时，
以Rt△OPQ的三个顶点可以确定一条对称轴平行于y轴的抛物线．
当t=1时，点P、Q、O三点的坐标分别为P（12 5 ，6 5 ），Q（3，0），O（0，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x-3）（x-0），
即y=a（x2-3x）．
将P（12 5 ，6 5 代入上式，
得a=-5 6
∴y=-5 6 （x2-3x）．
即y=-5 6 x2+5 2 x．
说明：若选择t=15 19 时，点P、Q、O三点的坐标分别是P（36 19 ，30 19 ），Q（61 19 ，0），O（0，0）．
求得抛物线的解析式为y=-19 30 x2+61
30 x．