Question

矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，AF平分∠BAD交EC的延长线于点F求证：CA=CF．

Answer 1

证明：延长DC交AF于H，显然∠FCH=∠DCE．

又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．

因为矩形对角线相等，

所以△DCB≌△CDA，从而∠DBC=∠CAD，

因此∠FCH=∠CAD．①

又AG平分∠BAD=90°，

所以△ABG是等腰直角三角形，

从而易证△HCG也是等腰直角三角形，

所以∠CHG=45°．

由于∠CHG是△CHF的外角，

所以∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，

所以∠CFH=45°-∠FCH．②

由①，②∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，

于是在三角形CAF中，有CA=CF．