Question

fx=sin(2x+π/6)+sin(2x-π/6)+2(cosx)^2 （x∈R）

1.求fx的最大值及此时x的取值集合
2.求fx的单调增区间
3.求y=sinx的图象经过怎样的变化得到fx

Answer 1

f(x)=sin2x·cos(π/6)+cos2x·sin(π/6)+sin2x·cos(π/6)-cos2x·sin(π/6)+cos2x +1
=√3·sin2x+cos2x +1
=2[(√3/2)·sin2x+(1/2)·cos2x] +1
=2sin(2x+π/6) +1
1.令2x+π/6=2kπ+π/2，则sin(2x+π/6)=1，f(x)有最大值为3，
此时，x的集合为　{x|x=kπ+π/6，k∈Z}
2.令　2kπ-π/2≤2x+π/6≤2kπ+π/2
解得　　kπ-π/3≤x≤kπ+π/6，
即f(x)的增区间为[kπ-π/3，kπ+π/6]，k∈Z
3.将y=sinx的图像纵坐标不变，横坐标缩小为原来的1/2，得y=sin2x的图像；
再将图像横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，得y=2sin2x的图像；
再向左平移π/12个单位，得y=2sin(2x+π/6)的图像；
最后，将图像向上平移1个单位，就得到y=2sin(2x+π/6) +1的图像．

Answer 2

解：1.用两角和与差的正弦公式展开化简得
　　　　f(x)=√3sin2x+1+cos2x=2sin(2x+π/6)+1，由此得2x+π/6=2kπ+π/2时，f(x)最大值为3，此时x的取值范围是｛x∈R｜x=kπ+π/6，k∈Z｝.
以下两问只说结论了，符号太难打了
　　 2.f(x)的单调增区间是[kπ-π/3，kπ+π/6]，k∈Z.
3.可将y=sinx的图像向左平移π/6单位，再将所得图像各点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后将所得图像各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，最后再将所得图像各点向上平移11个单位得函数f(x)的图像.

Answer 3

f(x)=sin2xcosπ/6+cos2xsinπ/6+sin2xcosπ/6-cos2xsinπ/6+cos2x+1
=根号3*sin2x+cos2x+1
=2sin(2x+π/6)+1
1、当2x+π/6=2kπ+π/2,即x=kπ+π/6,（k∈Z）时，f(x)的最大值为2*1+1=3
2、由2kπ-π/2<=2x+π/6<=2kπ+π/2，即kπ-π/3<=x<=kπ+π/6，（k∈Z）得增区间为[kπ-π/3,kπ+π/6]
3、将y=sinx 向左平移π/6个单位得到 y=sin(x+π/6),然后将其横坐标缩短为原来的1/2（纵坐标不变）得到 y=sin(2x+π/6),再将其坐标伸长为原来2倍（横坐标不变）得到y=2sin(2x+π/6),最后将得到图象向上移一个单位就得到了y=2sin(2x+π/6)+1和图象