Question

高二数学 复数 设a=(1+√3i)/2,b=(1-√3i)/2,当n∈N*时,计算a^n+b^n

设a=(1+√3i)/2,b=(1-√3i)/2,当n∈N*时,计算a^n+b^n
最好是用高中知识解答

Answer 1

(a+b)^n的n次二项式，将此二项展开，

系数之和：

二项式系数和为：C（n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n.

a+b =1   (a+b)^n=1;

a*b =1;

a^n+b^n=(a+b)^n  +  二项式系数之和  -  a^n的系数-b^n的系数

              =1 + 2^n  - 1  - 1

              =2^n-1

追问

上面还有一问是求a²,a³,b²,b³的值,我会做
下面的是指当n=1,2,3....时,a^n+b^n的值如a+b=1,a²+b²==-1,a³+b³=-2,a^4+b^4=-1......肯定有规律的

追答

肯定有规律,利用二项式展开定理，就是我写在上面的那个公式。
最后结果是一个与n有关的值:2^n-1

追问

你这:2^n-1肯定错的a+b=1,a²+b²==-1,a³+b³=-2,a^4+b^4=-1

追答

那可能是算错了，反正方法就是这样的

Answer 2

解：复数 a=(1+√3i)/2=1/2+√3/2i；
b=(1-√3i)/2=1/2-√3/2i.
r1=√[1^2+√3)^2]=2.
cosθ (1/2)/2=1/4, sonθ=(√ 3/2)/2=√3/4
a=r1(cosθ+isinθ)
=2(cosi+isinθ).
a^n=[2(cosθ+isinθ)]^n.
=2^n(cosnθ+isinnθ)

r2=√[1^2+(-√3)^2]=2.
cosθ=(1/2)/2=1/4, sinθ=(-√3/2)/2=-√3/4. sin(-θ)=√3/4
b=2(cosθ+(-isinθ)).
b^n=2^n(cosnθ-isinnθ)
a^n+b^n=2^(n+1)cosnθ. n∈N*

追问

不是这样,上面还有一问是求a²,a³,b²,b³的值,我会做
下面的是指当n=1,2,3....时,a^n+b^n的值如a+b=1,a²+b²==-1,a³+b³=-2,a^4+b^4=-1......肯定有规律的

Answer 3

这道题需要用到欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，
a=cos60+i*sin60=e^i（π/3），
b=cos60-i*sin60=e^i（-π/3），
所以a^n=e^i（nπ/3），
b^n=e^i（-nπ/3），
a^n+b^n=e^i（nπ/3）+e^i（-nπ/3）=e^i（nπ/3）+1/[e^i（nπ/3）]，
利用欧拉公式展开，
a^n+b^n=cosnπ/3+i*sinnπ/3+1/[cosnπ/3+i*sinnπ/3]，
1/[cosnπ/3+i*sinnπ/3]=cosnπ/3-i*sinnπ/3，
所以结果等于2cosnπ/3.

追问

高二还没学到欧拉公式
a+b=1,a²+b²=-1,a³+b³=-2,a^4+b^4=-1,,a^5+b^5=1,,a^6+b^6=2,,a^7+b^7=1,,a^8+b^8=-1,,a^9+b^9=-2,,a^10+b^10=-1......肯定有规律的,我不知道怎么归纳,例如:a^n+b^n=2(-1)^n(n=3k k∈N*)

追答

提前了解一下肯定会有用的，况且高中复数的计算也就这么点了，，，

追问

能不能象分段函数那样写:::a^n+b^n=(-1)^n+1(n=3k+1 k∈N)
a^n+b^n=(-1)^n-1(n=3k+2 k∈N)
a^n+b^n=2(-1)^n(n=3k+3 k∈N)

追答

:::
a^n+b^n=(-1)^n+1(n=3k+1 k∈N)
a^n+b^n=(-1)^n-1(n=3k+2 k∈N)
a^n+b^n=2(-1)^n(n=3k+3 k∈N)
这个不对的，它们的符号一直在变呢，，，
也就转化成三角函数才可以的啊，，，
不然复数i消不掉啊，，，（我是消不掉，）

追问

a²=(-1+√3i)/2,a³=-1,b²=(-1-√3i)/2,b³=-1
a+b=1, a²+b²=-1, a³+b³=-2,
a^4+b^4=-1,, a^5+b^5=1, ,a^6+b^6=2,,
a^7+b^7=1,, a^8+b^8=-1, ,a^9+b^9=-2,,
a^n+b^n=(-1)^(n+1)(n=3k+1 k∈N)当k=0,1,2..时n=1,4,7...
a^n+b^n=(-1)^(n-1)(n=3k+2 k∈N)当k=0,1,2..时n=2,5,8..
a^n+b^n=2(-1)^n(n=3k+3 k∈N)当k=0,1,2..时n=3,6,9..

追答

嗯，这几个式子是对的，但是不好化啊，，，