Question

若函数f(x)=ax³-x²+x-5在R上单调递增，求实数a的取值范围。

过程我是清楚，我奇怪的是为什么说f(x)递增可知f(x)的导数大于等于0，而不是大于0.纠结好久了啊~~

Answer 1

f'(x)=3ax^2-2x+1>=0
a>0 且 4-12a>=0
a<=1/3
∴0<a<=1/3

因为如果使f'(x)=0的点是孤立点，其余点导数符号一致，则这点并不影响函数的增减性。例如y=x^3,当x≠0时，f'(x)=3x^2>0,f'(0)=0,函数y=x^3在定义域内单增，x=0虽然使f'(0)=0并不影响函数在定义域内递增。再如y=x-sinx,y'=1-cosx,使y'=0的点x=2kπ,虽然有无穷多，但都是孤立点，除这些孤立点外，都有y'(x)>0，这些点也并不影响函数的增减性，也就是说函数y=x-sinx在整个定义域内是单调递增的。

Answer 2

例如f(x)=x³为单调递增 但是x=0时导数为0 但它还是递增

追问

哦，是不是针对不同函数，比如它在R上递增，其导数可能是大于0的也可以是大于等于0的，所以最后要验证等于0是否成立？比如f(x)=e^x在R上递增，它的导数也是e^x，但是它的导数不等于0，只大于0？我这样想对吗？

追答

其导数是大于等于0的 说明这个函数在定义域上有单调性 关于非增非减 数学上有争议 我们一般认为导数为0 说明其在这点增的速率或减的速率为0 具体情况具体分析 就像单调区间的端点可以包括也可以不包括 我们约定熟成单调性取决于临近的区间