Question

24.★★★如图1，点O为直线AB上一点，

如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 ————（直接写出结果）；
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，求∠AOM-∠NOC的度数。

Answer 1

1、平分。因为OM平分∠BOC，∠BOC=120°，所以∠MOB=60°，∠AOC=60°。因为直角三角板，所以∠BON=30°。因为直线ON上，∠MOC=90+60=150，所以∠CO#=30°（虚线一侧）。所以∠CO#=½∠∠AOC。所以直线ON是否平分∠AOC。
2、由题意知三角板旋转了240°，所以t=240/6=40秒。
3、∠AOM最大为90°，最小为30°，∠NOC最大为60°，最小为0°。所以∠AOM-∠NOC的度数范围为0~90°。
瞎忙活了半天，也不知道做得最不对。仅供参考。。。

Answer 2

解：（1）直线ON平分∠AOC．理由：
设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB，
又∵OM⊥ON，
∴∠MOD=∠MON=90°，
∴∠COD=∠BON，
又∵∠AOD=∠BON（对顶角相等），
∴∠COD=∠AOD，
∴OD平分∠AOC，
即直线ON平分∠AOC．

（2）∵∠BOC=120°
∴∠AOC=60°，
∴∠BON=∠COD=30°，
即旋转60°时ON平分∠AOC，
由题意得，6t=60°或240°，
∴t=10或40；

（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°．