Question

如图，已知二次函数y=x2+bx+c 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，顶点为C（-1,2 ）。 （1）求此函数

如图，已知二次函数y=x2+bx+c 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，顶点为C（-1,2 ）。
（1）求此函数的关系式；
（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D。若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）∵的顶点为C（1，-2），∴，．
（2）设直线PE对应的函数关系式为．由题意，四边形ACBD是菱形.
故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M．
由P(0，-1)，M（1，0），得．从而，
设E(，)，代入，得．
解之得，，根据题意，得点E(3，2)．
（3）假设存在这样的点F，可设F(，)．过点F作FG⊥轴，垂足为点G.
在Rt△POM和Rt△FGP中，∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，
∴∠OMP=∠FPG，又∠POM=∠PGF，∴△POM∽△FGP
∴．又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即．
解得，，根据题意，得F(1，-2)．
以上各步均可逆，故点F(1，-2)即为所求
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追问

（1）∵y=x2+bx+c的顶点为（1，-2）．∴y=（x-1）2-2，y=x2-2x-1；（2）设直线PE对应的函数关系式为y=kx+b，根据A，B关于对称轴对称，AC=CB，AD=BD，点C关于x轴的对称点D，
AC=BC=AD=BD，
则四边形ACBD是菱形，
故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M． 由P（0，-1），M（1，0），得b=-1k+b=0从而得y=x-1，设E（x，x-1）代入y=x2-2x-1得x-1=x2-2x-1，解得x1=0，x2=3，根据题意得点E（3，2）；