Question

已知函数f（x）=2^|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+2m-8．

（Ⅰ）若m=2，求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若方程f（x）=2^|m|在x∈[-4，+∞）恒有唯一解，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若对任意x1∈（-∞，4]，均存在x2∈[4，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

1
m=2，g(x)=x|x-2|-4，当x≥2时，g(x)=x^2-2x-4=(x-1)^2-5，函数开口向上，对称轴：x=1
此时，对称轴位于x=2的左方，故函数是增函数
当x<2时，g(x)=-x^2+2x-4=-(x-1)^2-3，函数开口向下，对称轴：x=1，此时，对称轴位于
x=2的左方，函数先增后减，增区间是x≤1，减区间是1≤x≤2
故f(x)的增区间是：x∈(-inf,1]∪[2,+inf)；减区间：x∈[1,2]
2
f(x)=2|m|，即：2|x-m|=2|m|，即：x-m=m或x-m=-m，m≠0时，方程有2个实根：x=2m和x=0
当m=0时，方程有唯一实根：x=0，此时满足题意
当m>0时，x=2m位于x=0右方，此时在区间[-4,+inf)上，方程有2个实根，不满足条件
当m<0时，x=2m位于x=0左方，要满足题意，需：2m<-4，即：m<-2
所以，m的取值范围：m<-2或m=0
3
此问等价于使f(x)在x∈(-inf,4]上的值域要包含于g(x)在x∈[4,+inf)上的值域，如果满足这样
的条件，对任意x1∈(-∞,4]，则在[4,+∞)上至少存在一个x2值，使得f(x1)=g(x2)
当x≥m时，f(x)=2(x-m)，当x<m时，f(x)=2(m-x)
当m≥4时，f(x)在区间(-inf,4]上是减函数，最小值在x=4时取得，fmin=f(4)=2m-8
故值域：f(x)∈[2m-8,+inf)
当m<4时，f(x)在区间(-inf,4]先减后增，最小值在x=m时取得，fmin=f(m)=0，故值域：f(x)∈[0,+inf)
而g(x)：
当x≥m时，g(x)=x(x-m)+2m-8=x^2-mx+2m-8，函数开口向上，对称轴：x=m/2
当x<m时，g(x)=x(m-x)+2m-8=-x^2+mx+2m-8，函数开口向下，对称轴：x=m/2
当m≥4时，g(x)在区间[4,+inf)上先减后增，最小值在x=m处取得，gmin=g(m)=2m-8
故值域：g(x)∈[2m-8,+inf)
当m<4时，g(x)在区间[4,+inf)是增函数，最小值在x=4处取得，gmin=g(4)=8-2m
故值域：g(x)∈[8-2m,+inf)
可以看出，当m≥4时，f(x)的值域与g(x)的值域相同，满足题意，当m<4时，要满足题意
需满足f(x)的值域包含于g(x)的值域，故：8-2m≤0，即：m≥4
所以，满足题意的m取值范围：m≥4

追问

不是这样的吧
题目是2^|x-m|,而不是2|x-m|

追答

那是我打错了吧,但是答案是对的
不懂的欢迎追问!

追问

哦，谢谢

追答

不客气
如有帮助请及时采纳,谢谢!

Answer 2

第三题答案是[7/2,5]U[6,正无穷]