Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,双曲线x^2-y^2=1的渐近线与椭圆有四个交点，

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,双曲线x^2-y^2=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为 A。x^2/8+y^2/2=1,Bx^2/12+y^2/6=1 Cx^2/16+y^2/4=1 Dx^2/20+y^2/5=1

Answer 1

分析：由题意，双曲线x²-y²=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C：x²/a²+y²/b²=1．利用e=√3/2，即可求得椭圆方程．

解答：
解：
由题意，双曲线x²-y²=1的渐近线方程为y=±x
∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，
∴（2，2）在椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）上
∴4/a²+4/b²=1
∵e=√3/2
∴﹙a²-b²﹚/a²=3/4
∴a²=4b²
∴a²=20，b²=5
∴椭圆方程为：x²/20+y²/5=1
故选D．

点评：本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，正确运用双曲线的性质是关键．

有疑问可以追问哦，。