Question

y=sinxcosx+sinx+cosx,x∈[0,π/2]的值域是

Answer 1

解：
令t=sinx+cosx，则：
因为：
sinx+cosx=√2sin(x+π/4)，
因此：
t∈[1，√2]
又因为：
(sinx+cosx)²=t²=1+2sinxcosx
∴sinxcosx=(t²-1)/2
则：
y=t+(t²-1)/2
=(1/2)(t+1)²-1
因此：当t=-1时，y有最小值：-1，但t取不到，因此：根据二次函数单调性，t>-1时为增函数，于是：
当t=1时有最小值：(1/2)(1+1)²-1=1
当t=√2时，y有最大值：(1/2)(√2+1)²-1=（1+2√2）/2

因此：
该函数的值域为：[1，（1+2√2）/2]

Answer 2

y=sinx+cosx+sinxcosx
令sinx+cosx=T，(1)
由同角三角函数关系sinxcosx=[（sinx+cosx)^2-(sinx^2+cosx^2)]/2
把(1)式代入，得sinxcosx=（T^2-1)/2
所以y=T+（T^2-1)/2
整理得，y=1/2（T+1）^2-1
而sinx+cosx=√2sin(x+π/4)x∈[0,π/2]sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[1，,√2]
所以y=1/2（T+1）^2-1 在T∈[1，,√2] 时，单调增加
当T=1时，y取得最小值 = 1
当T=√2时，y取得最大值 = 1/2+√2
值域[1,1/2+√2 ]

Answer 3

y=sinxcosx+sinx+cosx=0.5[(sinx+cosx)²-1]+(sinx+cosx)
令t=sinx+cosx则
t=√2sin(x+π/4)
∴t∈[1,√2]
y=0.5t²+t-0.5=0.5(t+1)²-1.5
当x=√2时y取得最大值√2+0.5
当x=1时y取得最小值1
∴y=sinxcosx+sinx+cosx,x∈[0,π/2]的值域为[1,√2+0.5]

Answer 4

解：令t=sinx+cosx，则：
因为sinx+cosx=√2sin(x+π/4)，
因此：t∈[1，√2]
又因为：(sinx+cosx)²=t²=1+2sinxcosx
∴sinxcosx=(t²-1)/2
则：y=t+(t²-1)/2
=(1/2)(t+1)²-1
因此：当t=-1时，y有最小值：-1，但t取不到，因此：根据二次函数单调性，t>-1时为增函数，于是：当t=1时有最小值：(1/2)(1+1)²-1=1
当t=√2时，y有最大值：(1/2)(√2+1)²-1=（1+2√2）/2

因此：该函数的值域为：[1，（1+2√2）/2]

Answer 5

令 t=sinx+cox ，则 sinxcosx=(t^2-1)/2 ，
由 0<=x<=π/2 及 t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4) 得 1<=t<=√2 ，
所以由 y=(t^2-1)/2+t=1/2*(t+1)^2-1 得 1<=y<=1/2+√2 ，
即值域为 [1，1/2+√2] 。