y=sinxcosx+sinx+cosx,x∈[0,π/2]的值域是
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y=sinxcosx+sinx+cosx,
求导,y’=cosx^2-sinx^2+cosx-sinx,y”=-4cosxsinx-sinx-cosx
令y’=cosx^2-sinx^2+cosx-sinx=0,cosx^2+cosx =sinx^2+ sinx,
cosx^2+cosx+1/4=sinx^2+ sinx+1/4,
(cosx+1/2)^2=( sinx+1/2)^2,
cosx+1/2= sinx+1/2,
cosx= sinx,
x=π/4
当x=π/4时,y”=-2-√2<0,有极大值ymax=1/2+√2
当x=0时,y=1;当x=π/2时,y=1,所以,函数的值域为[1, 1/2+√2]
求导,y’=cosx^2-sinx^2+cosx-sinx,y”=-4cosxsinx-sinx-cosx
令y’=cosx^2-sinx^2+cosx-sinx=0,cosx^2+cosx =sinx^2+ sinx,
cosx^2+cosx+1/4=sinx^2+ sinx+1/4,
(cosx+1/2)^2=( sinx+1/2)^2,
cosx+1/2= sinx+1/2,
cosx= sinx,
x=π/4
当x=π/4时,y”=-2-√2<0,有极大值ymax=1/2+√2
当x=0时,y=1;当x=π/2时,y=1,所以,函数的值域为[1, 1/2+√2]
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设 t=sinx+cox ,则 sinxcosx=(t²-1)/2 ,
∵x∈[0,π/2],∴ t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4) ∈[1,√2]
∴ y=t+(t²-1)/2=1/2(t+1)²-1
∴最小值=f(1)=1,最大值=1/2+√2 ,
∴值域为 [1,1/2+√2] 。
∵x∈[0,π/2],∴ t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4) ∈[1,√2]
∴ y=t+(t²-1)/2=1/2(t+1)²-1
∴最小值=f(1)=1,最大值=1/2+√2 ,
∴值域为 [1,1/2+√2] 。
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