Question

y=sinxcosx+sinx+cosx,x∈[0,π/2]的值域是

Answer 1

y=sinxcosx+sinx+cosx,
求导，y’=cosx^2-sinx^2+cosx-sinx,y”=-4cosxsinx-sinx-cosx
令y’=cosx^2-sinx^2+cosx-sinx=0，cosx^2+cosx =sinx^2+ sinx，
cosx^2+cosx+1/4=sinx^2+ sinx+1/4，
(cosx+1/2)^2=( sinx+1/2)^2,
cosx+1/2= sinx+1/2,
cosx= sinx,
x=π/4
当x=π/4时，y”=-2-√2<0,有极大值ymax=1/2+√2
当x=0时，y=1;当x=π/2时，y=1,所以，函数的值域为[1, 1/2+√2]

Answer 2

设 t=sinx+cox ，则 sinxcosx=(t²-1)/2 ，
∵x∈[0,π/2]，∴ t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4) ∈[1，√2]
∴ y=t+(t²-1)/2=1/2(t+1)²-1
∴最小值=f(1)=1，最大值=1/2+√2 ，
∴值域为 [1，1/2+√2] 。