Question

如图,AB垂直BC,DC垂直BC,垂足分别为B.C(第二小题就行了）

（1） 当AB=4,DC=1.BC=4时，在线段BC上是否存在点P，使AP垂直PD？如果存在，求线段BP的长；如果不存在。请说明理由。（2）设AB=a,DC=b,AD=c,那么a b c 之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP垂直PD？（注：A点为左上角嘚点， D点为点C上面的点）

Answer 1

1) 假设存在存在一点P，使AP垂直PD
则三角形ABP相似于三角形PCD
AB/PC=BP/CD
即：4/(4-BP)=BP/1
BP=2
即P是BC的中点

（2）AB=a,DC=b,DC=c
则：BC=√[c^2-(a-b)^2]
设 BP=x
由（1）得：a/(BC-BP)=BP/b
BP^2-√[c^2-(a-b)^2]BP+ab=0
Δ=c^2-(a-b)^2-4ab
=c^2-(a+b)^2≥0
c^2≥(a+b)^2
c≥a+b
即当c≥a+b时，在直线BC上存在点P，使AP垂直PD

Answer 2

1、要使得AP垂直PD，则只要以AD为直径的圆与BC有交点即可。
此时：AB＋CD=AP＋PC就能保证一定有这样的点P存在。
当AB=4、CD=1、BC=4时，此时存在点P，此时AD=5。
取AD中点O、BC中点M，则：OM=(1/2)(AB＋CD)=5/2
此时的点M就是点P，得：BP=2

2、当a＋b≤c时，一定存在满足要求的点P

Answer 3

2)在BC上任取一点P;令O为AD的中点，作OE⊥BC,连接OB,OC
∵AP⊥PD,
∴P在以AD为直径的圆上
∵O为AD的中点,

∴OB=OC
因此，1/2AD<OB

OE=1/2(AB+CD)=1/2(a+b)
BC=√[AD²-(AB-CD)²]=√[c²-(a-b)²]
OB=√[(1/2BC)²+OE²]=√{[c²-(a-b)²]/4+(a+b)²/4}=√(c²/4+ab)
∴1/2c<√(c²/4+ab)

ab>0
即，a>0,b>0