如果a4不能被a1,a2,a3线性表出,那么a1,a2,a3是否线性有关?
是。
说明向量组a1,a2,a3,a4线性相关；即存在不全为0的4个数k1,k2,k3,k4使得
k1*a1+k2*a2+k3*a3+k4*a4=0(注由于这里不好写下标,在此声明k1,k2,k3,k4为系数)。
又因为a4不能由a1,a2,a3线性表示,所以不存在如下的等式关系：
a4=c1*a1+c2*a2+c3*a3(注c1,c2,c3为系数,也就是常数)。
由上面第一个等式知：k1*a1+k2*a2+k3*a3+k4*a4=0。
由上面第二条件知：a4=c1*a1+c2*a2+c3*a3（不成立）。
从第一个等式中知要使第二个条件成立,只有k4=0;如果k4!=0的话,那么经 过移项,两边同除以k4,可变成a4=c1*a1+c2*a2+c3*a3,这就产生了矛盾。
故在第1式中只有k4=0。
这样就有k1*a1+k2*a2+k3*a3＝0；(k1,k2,k3不全为0),故向量组a1a2a3线性相关。
注意
对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。
向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。
包含零向量的任何向量组是线性相关的。
含有相同向量的向量组必线性相关。
增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)【局部相关，整体相关。】
减少向量的个数，不改变向量的无关性。(注意，原本的向量组是线性无关的）【整体无关，局部无关。】
一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。【无关组的加长组仍无关。】
一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。【相关组的缩短组仍相关。】
若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关；否则是线性无关的。
