Question

如图,P是正三角形ABC内一点,PA=3,PB=4,PC=5,将线段PA以点A为旋转中心逆时针旋转60度得到线段AP1,连结P1C

1.求三角形APB与三角形APC的面积之和
2.直接写出三角形BPC的面积,不需要说理

Answer 1

解答 ：
可以将三角形 绕顶点 A逆时针选 60度，使得AB与AC边重合，
p点相应 点为P'，则可看到
得到三角形pP'C；
pP'＝3；（可以知道角pAP'为等边三角形）
P'C＝pB＝4；
pC ＝5；
即可知 pP'与P'C垂直；
即角ApB ＝角AP'C＝ 90＋60 ＝150度。

三角形APB与三角形APC的面积之和=
三角形APp1与三角形p1PC的面积之和=√3/4*9+6==9√3/4+6

(2)
在三角形ApB中 ，利用余弦定理 可得到
AB^2＝25+12√3

即三角形ABC的面积
S＝√3/4*AB^2=9+25√3/4;
三角形BPC的面积=9+25√3/4-(9√3/4+6)=3+4√3

追问

您可以说得详细一点吗

追答

边长为a的等边三角形面积=√3/4*a^2

追问

我们余弦定理还没有上过

追答

那你作AW ⊥CP1于W，则ap1=3/2,wp1=3√3/2
用勾股定理可求出
AC^2＝25+12√3

Answer 2

1、连接PP1 得到三角形APP1因为AP=AP1=3 角PAP1=60°（旋转所得）所以APP1为正三角形，边长3
AP=AP1 AB=AC 角BAP=角CAP1=60°-角PAC 所以三角形ABP与三角形ACP1全等
所以P1C=PB=4
三角形PP1C三边为3 4 5 因为3²+4²=5² 所以三角形PP1C为直角三角形
所以三角形APB+三角形APC=三角形APC+三角形AP1C=三角形APP1+三角形PP1C=1/2*3*3*sin60°+1/2*3*4= 9√3 /4+6