Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，点F在PB上，且

Answer 1

且EF⊥PB，求证：PB垂直平面DEF问题二：求二面角C－PB－D的大小 。
【网文】
1，证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DB，PD⊥DC，PD⊥DB．又∵BC⊥DC，PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC．∴PC是PB在平面PDC内的射影．∵PD⊥DC，PD=DC，点E是PC的中点，∴DE⊥PC．由三垂线定理知，DE⊥PB．∵DE⊥PB，EF⊥PB，DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD． 2以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2）∵PB⊥平面EFD，∴PB⊥FD．又∵EF⊥PB，FD∩EF=F，∴∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角设F（x，y，z），则 PF=（x，y，z-2）， DF=（x，y，z）∵PF∥PB，DF⊥PB∴ PF=k PB， PB• DF=0，x=y=（-z-2）=2k，x+y-z=0k= 1/3，x=y= 2/3，z= 4/3∴F（ 2/3， 2/3， 4/3） FD=（- 2/3，- 2/3，- 4/3）， EF=（- 2/3， 1/3，- 1/3）∵cos∠EFD= FD•FE|FD|•|FE|= 1/2∴∠EFD=60°．

Answer 2

显然第二个问题是第一个问题的简单延续

 

（1）因PD⊥底面ABCD

而BC⊂平面ABCD

则BC⊥PD

易知BC⊥CD

又PD、CD交于平面PCD

则BC⊥平面PCD

而DE⊂平面PCD

则DE⊥BC

 

因PD=CD

且E为PC中点

则DE⊥PC（三线合一）

而PC交BC于平面PBC

则DE⊥平面PBC

又PB⊂平面PBC

则PB⊥DE

 

因PB⊥EF

而EF交DE于平面DEF

则PB⊥平面DEF

 

（2）由（1）DEF的结论知DF⊥PB

而EF⊥PB

则∠DFE为二面角C-PB-D的平面角

 

因DE⊥平面PBC

又EF⊂平面PBC

则DE⊥EF

即⊿DEF为RT⊿

 

在RT⊿PCD中

易知DE=√2

在RT⊿PDB中

易知DF=2√6/3

 

由三角函数定义知

sin∠DFE=DE/DF=√3/2

所以∠DFE=60°