Question

已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞c)经过点Q（2,3），离心率为1/2

（1）求椭圆C的标准方程（2）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y²=4x于P.Q两点，求证OP垂直OQ 急 需要详细答案，想答案书上的一样的过程 谢谢

Answer 1

离心率e=c/a=1/2,即有a^2=4c^2=4(a^2-b^2)

3a^2=4b^2
Q(2,3)代入得到4/a^2+9/b^2=1
9a^2+4b^2=a^2b^2
9a^2+3a^2=a^2*3a^2/4
a^2=16,b^2=12
故椭圆方程是x^2/16+y^2/12=0
右顶点坐标是(4,0),设过(4,0)的直线方程是x=my+4
代入到y^2=4x得到y^2=4my+16
y^2-4my-16=0
y1+y2=4m
y1y2=-16
x1x2=m^2y1y2+4m(y1+y2)+16
x1x2+y1y2=m^2*(-16)+16m^2+16+(-16)=0
故向量OP*OQ=0
即有OP垂直于OQ.

Answer 2

(1)方程组4/a^2+9/b^2=1
c/a=1/2,化简得c^2=4，则椭圆方程为x^2/16+y^2/12=1.
(2)右顶点（4，0）分两种情况，
1.当直线斜率不存在时，p（4，4），Q(4,-4),向量OP*向量OQ=0,则OP垂直OQ

2.设P(x1,y1)Q(x2,y2)直线的方程为y=k(x-4),与y²=4x联立，得x1x2=16,y1y2=-16
则则OP垂直OQ